Математичне моделювання в задачах геометрично нелінійної теорії пружності
Loading...
Date
2021
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Херсонський національний технічний університет
Abstract
UKR: Розв’язки багатьох важливих для практики задач, що виникають в сучасній техніці, не завжди можуть бути отримані традиційними методами теорії аналітичних функцій або за допомогою інтегральних перетворень. Це відноситься, наприклад, до контактних задач, в яких враховуються скінченні розміри області хоча б в одному напрямку, або досліджуються середовища з криволінійною анізотропією тощо. Засоби математичної теорії пружності виявляються не надто ефективними для дослідження таких задач. У цьому випадку доцільно використовувати досягнення теорії потенціалу. Застосування ж асимптотичних методів при цьому, навіть в складних випадках, дозволяє отримувати обґрунтовані наближені рівняння, уточнювати якісні закономірності і отримувати аналітичні розв’язки задач. У даній роботі представлене узагальнення методу збурень, яке дозволяє звести дослідження складних задач геометрично нелінійної теорії пружності (в плоскій та просторовій постановці) до послідовного розв’язання більш простих крайових задач теорії потенціалу. Геометрично нелінійна теорія пружності містить в собі деякі особливості, завдяки яким вона відрізняється від класичної (лінійної) теорії. Головна відмінність полягає в урахуванні різниці між геометрією недеформованого та деформованого станів досліджуваного тіла, коли мають місце переміщення, які викликають значні зміни геометрії тіла. При цьому рівняння рівноваги необхідно складати з урахуванням зміни форми і розмірів конструкцій. Врахування кінцевих деформацій, які при створенні математичних моделей веде до значних труднощів при розв’язуванні задач, але в той же час наближає модель до реальної проблеми. Метод збурень, що використовується для розв’язання нелінійних рівнянь у частинних похідних, має теоретичне і практичне значення. Він універсальний і може використовуватися для аналізу різних завдань математичної фізики. Розроблений підхід може бути застосований для вирішення завдань, в яких істотну роль грають залишкові деформації. Наприклад, згин тонких пластин і оболонок. У розглянутій модельній задачі вдалося виділити вплив геометричної нелінійності на напружено-деформований стан досліджуваного тіла. Саме тому результати представленої роботи мають як теоретичне, так і прикладне значення, а дослідження є актуальним.
RUS: Решения многих важных для практики задач, возникающих в современной технике, не всегда могут быть получены традиционными методами теории аналитических функций или с помощью интегральных преобразований. Это относится, например, к контактным задачам, в которых учитываются конечные размеры области хотя бы в одном из направлений, или исследуются среды с криволинейной анизотропией и т. д. Средства математической теории упругости оказываются не слишком эффективными для исследования таких задач. В этом случае целесообразно использовать достижения теории потенциала. Применение же асимптотических методов при этом, даже в сложных случаях, позволяет получать обоснованные приближенные уравнения, уточнять качественные закономерности и получать аналитические решения задач. В данной работе представлено обобщение метода возмущений, которое позволяет свести исследование сложных задач геометрически нелинейной теории упругости (в плоской и пространственной постановке) к последовательному решению более простых краевых задач теории потенциала. Геометрически нелинейная теория упругости содержит в себе некоторые особенности, благодаря которым она отличается от классической (линейной) теории. Главное отличие заключается в учете разницы между геометрией недеформированного и деформированного состояний исследуемого тела, когда имеют место перемещения, которые вызывают значительные изменения геометрии тела. При этом уравнения равновесия необходимо составлять с учетом изменения формы и размеров конструкций. Учет конечных деформаций, при создании математических моделей ведет к значительным трудностям при решении задач, но в то же время приближает модель к реальной проблеме. Метод возмущений, который используется для решения нелинейных уравнений в частных производных, имеет теоретическое и практическое значение. Он универсален и может использоваться для анализа различных задач математической физики. Разработанный подход может быть применен для решения задач, в которых существенную роль играют остаточные деформации. Например, изгиб тонких пластин и оболочек. В рассматриваемой модельной задаче удалось выделить влияние геометрической нелинейности на напряженно-деформированное состояние исследуемого тела. Именно поэтому результаты представленной работы имеют как теоретическое, так и прикладное значение, а исследования являются актуальными.
ENG: The resolve of many important problems in practice that arise in modern technology cannot always be obtained by traditional methods of analytic function theory or by means of integral transformations. This applies, for example, to contact problems, which take into account the finite size of the region in at least one direction, or investigate environments with curvilinear anisotropy and the like. The means of mathematical theory of elasticity are not very effective for the study of such problems. In this case, it is advisable to use the achievements of the theory of potential. The use of asymptotic methods, even in complex cases, allows to obtain reasonable approximate equations, to clarify the qualitative patterns and to obtain analytical solutions. This paper presents a generalization of the perturbation method, which allows us to reduce the study of complex problems of geometrically nonlinear elasticity theory (in plane and spatial formulation) to the sequential solution of simpler boundary value problems of potential theory. Geometrically nonlinear theory of elasticity contains some features that make it different from classical (linear) theory. The main difference is to take into account the difference between the geometry of the undeformed and deformed states of the studied body, when there are displacements that cause significant changes in the geometry of the body. The equilibrium equation must be made taking into account changes in the shape and size of structures. Taking into account the final deformations, which in the creation of mathematical models leads to significant difficulties in solving problems, but at the same time brings the model closer to the real problem. The perturbation method, which is used to solve nonlinear equations in partial derivatives, has theoretical and practical significance. It is universal and can be used to analyze various problems of mathematical physics. The developed approach can be applied to solve problems in which residual deformations play a significant role. For example, the bending of thin plates and shells. In the considered model problem it was possible to allocate influence of geometrical nonlinearity on a stress-strain state of the investigated body. That is why the results of the presented work have both theoretical and applied significance, and the study is relevant.
RUS: Решения многих важных для практики задач, возникающих в современной технике, не всегда могут быть получены традиционными методами теории аналитических функций или с помощью интегральных преобразований. Это относится, например, к контактным задачам, в которых учитываются конечные размеры области хотя бы в одном из направлений, или исследуются среды с криволинейной анизотропией и т. д. Средства математической теории упругости оказываются не слишком эффективными для исследования таких задач. В этом случае целесообразно использовать достижения теории потенциала. Применение же асимптотических методов при этом, даже в сложных случаях, позволяет получать обоснованные приближенные уравнения, уточнять качественные закономерности и получать аналитические решения задач. В данной работе представлено обобщение метода возмущений, которое позволяет свести исследование сложных задач геометрически нелинейной теории упругости (в плоской и пространственной постановке) к последовательному решению более простых краевых задач теории потенциала. Геометрически нелинейная теория упругости содержит в себе некоторые особенности, благодаря которым она отличается от классической (линейной) теории. Главное отличие заключается в учете разницы между геометрией недеформированного и деформированного состояний исследуемого тела, когда имеют место перемещения, которые вызывают значительные изменения геометрии тела. При этом уравнения равновесия необходимо составлять с учетом изменения формы и размеров конструкций. Учет конечных деформаций, при создании математических моделей ведет к значительным трудностям при решении задач, но в то же время приближает модель к реальной проблеме. Метод возмущений, который используется для решения нелинейных уравнений в частных производных, имеет теоретическое и практическое значение. Он универсален и может использоваться для анализа различных задач математической физики. Разработанный подход может быть применен для решения задач, в которых существенную роль играют остаточные деформации. Например, изгиб тонких пластин и оболочек. В рассматриваемой модельной задаче удалось выделить влияние геометрической нелинейности на напряженно-деформированное состояние исследуемого тела. Именно поэтому результаты представленной работы имеют как теоретическое, так и прикладное значение, а исследования являются актуальными.
ENG: The resolve of many important problems in practice that arise in modern technology cannot always be obtained by traditional methods of analytic function theory or by means of integral transformations. This applies, for example, to contact problems, which take into account the finite size of the region in at least one direction, or investigate environments with curvilinear anisotropy and the like. The means of mathematical theory of elasticity are not very effective for the study of such problems. In this case, it is advisable to use the achievements of the theory of potential. The use of asymptotic methods, even in complex cases, allows to obtain reasonable approximate equations, to clarify the qualitative patterns and to obtain analytical solutions. This paper presents a generalization of the perturbation method, which allows us to reduce the study of complex problems of geometrically nonlinear elasticity theory (in plane and spatial formulation) to the sequential solution of simpler boundary value problems of potential theory. Geometrically nonlinear theory of elasticity contains some features that make it different from classical (linear) theory. The main difference is to take into account the difference between the geometry of the undeformed and deformed states of the studied body, when there are displacements that cause significant changes in the geometry of the body. The equilibrium equation must be made taking into account changes in the shape and size of structures. Taking into account the final deformations, which in the creation of mathematical models leads to significant difficulties in solving problems, but at the same time brings the model closer to the real problem. The perturbation method, which is used to solve nonlinear equations in partial derivatives, has theoretical and practical significance. It is universal and can be used to analyze various problems of mathematical physics. The developed approach can be applied to solve problems in which residual deformations play a significant role. For example, the bending of thin plates and shells. In the considered model problem it was possible to allocate influence of geometrical nonlinearity on a stress-strain state of the investigated body. That is why the results of the presented work have both theoretical and applied significance, and the study is relevant.
Description
Т. Кагадій: ORCID 0000-0001-6116-4971; А. Шпорта: ORCID 0000-0002-1260-7358; О. Білова: ORCID: 0000-0001-6258-6164; І. Щербина: ORCID 0000-0003-3968-4326
Keywords
асимптотичний метод, анізотропія, геометрична нелінійність, asymptotic method, anisotropy, geometric nonlinearity, КПМ та ОТ
Citation
Кагадій Т. С., Шпорта А. Г., Білова О. В., Щербина І. В. Математичне моделювання в задачах геометрично нелінійної теорії пружності. Прикладні питання математичного моделювання. 2021. Т. 4. № 1. С. 103–110. DOI: https://doi.org/10.32782/KNTU2618-0340/2021.4.1.11.