Моделювання нелінійних електричних кіл із застосуванням методу перетворення змінних

UKR: У статті розглянуто аналітичний підхід до моделювання нелінійних електричних кіл, заснований на методі перетворення змінних. Особливу увагу приділено задачі розряду конденсатора через нелінійне навантаження, яке моделює електролізер з вольт-амперною характеристикою, що включає активаційні та концентраційні компоненти. У результаті отримано узагальнене диференціальне рівняння другого порядку, яке описує динаміку напруги на ємності з урахуванням нелінійного струмозалежного опору. Запропоновано метод перетворення цього рівняння до лінійного з постійними коефіцієнтами шляхом введення нової змінної, що дозволило здійснити повний аналітичний розв’язок системи. У процесі дослідження показано, що така заміна не лише спрощує аналіз, але й забезпечує збереження геометричної структури фазового простору, що особливо важливо для моделювання автоколивальних і нестійких режимів. Запропонований метод також дозволяє контролювати похибку та зберігати фізичну інтерпретованість параметрів при чисельному розв’язанні. Практична значущість підходу продемонстрована на прикладі електричного кола з ємнісним джерелом і нелінійним електролітичним навантаженням, що дозволило відтворити основні характеристики перехідного процесу: фазовий портрет, енергетичні втрати, гістерезисні ефекти. Крім того, обґрунтовано можливість застосування методу перетворення змінних для моделювання електрохімічних процесів, зокрема осадження металів у гальванічних ваннах, де кінетика реакцій і концентраційні залежності формують складну нелінійну динаміку. У такому контексті введення нових змінних дозволяє звести рівняння до лінійного вигляду та здійснювати аналіз як стаціонарних, так і перехідних режимів із підвищеною точністю. Представлені результати можуть бути застосовані у моделюванні електронних пристроїв із нелінійною ВАХ, у енергетиці, автоматизованих системах керування, а також у фізико-хімічних технологіях з електрохімічними перетвореннями.

ENG: The article presents an analytical approach to modeling nonlinear electrical circuits based on the method of variable transformation. Special attention is given to the problem of capacitor discharge through a nonlinear load that models an electrolyzer with a volt-ampere characteristic incorporating both activation and concentration components. As a result, a generalized second-order differential equation is obtained, describing the voltage dynamics on the capacitor, accounting for the nonlinear current-dependent resistance. A method is proposed for transforming this equation into a linear one with constant coefficients by introducing a new variable, which enables a complete analytical solution of the system. The study demonstrates that such a transformation not only simplifies the analysis but also preserves the geometric structure of the phase space, which is particularly important for modeling oscillatory and unstable operating modes. The proposed method also allows for error control and retains the physical interpretability of parameters during numerical solution. The practical significance of the approach is illustrated using an example of an electric circuit with a capacitive source and nonlinear electrolytic load, reproducing key characteristics of the transient process, including the phase portrait, energy losses, and hysteresis effects. In addition, the possibility of applying the variable transformation method to the modeling of electrochemical processes-such as metal deposition in galvanic baths-is substantiated. In such systems, reaction kinetics and concentration dependencies lead to complex nonlinear dynamics. In this context, the introduction of new variables enables the reduction of equations to a linear form and facilitates accurate analysis of both steady-state and transient regimes. The results presented can be applied to the modeling of electronic devices with nonlinear V-I characteristics, in power engineering, automated control systems, and in physico-chemical technologies involving electrochemical transformations.