Гладкость функций в метрических пространствах Lψ

RU: Пусть L0(T) - множество действительнозначных периодических измеримых функций, ψ: R+ → R+ – модуль непрерывности (ψ ≠ 0), Lψ ≡ Lψ(T) = {f Є L0(T) : ║ f ║ψ : = ∫ ψ(|f(x)|) dx < ∞}. Исследуются следующие задачи:

1. Связь между скоростью аппроксимации f тригонометрическими полиномами в Lψ и гладкостью в L1;
2. Соотношения между модулями непрерывности f в Lψ и L1 и теоремы вложения классов Lip(α, ψ) в L1;
3. Структура функций класса Lip(1, ψ).

UA: Нехай L0 (T) - множина дійснозначних періодичних вимірних функцій, ψ: R + → R + - модуль неперервності (ψ ≠ 0), Lψ ≡ Lψ (T) = {f Є L0 (T): ║ f ║ψ: = ∫ ψ (| f (x) |) dx <∞}. Досліджуються наступні задачі:

1. Зв'язок між швидкістю апроксимації f тригонометричними поліномами в Lψ і гладкістю в L1;
2. Співвідношення між модулями неперервності f в Lψ і L1 та теореми вкладення класів Lip (α, ψ) в L1;
3. Структура функцій з класу Lip (1, ψ).

EN:Let L 0 (T) be the set of real-valued periodic measurable functions, let ψ: R + → R + be a modulus of continuity (ψ ≠ 0), and let. The following problems are investigated: the relationship between the rate of approximation of f by trigonometric polynomials in L ψ and the smoothness in L 1, the relationship between the moduli of continuity of f in L ψ and L 1 and the imbedding theorems for the classes Lip(α, ψ) in L 1, and the structure of functions from the class Lip(1, ψ). © 2013 Springer Science+Business Media New York.