Аналітичні розв’язки деяких задач для пластини з отворами

UKR: Вивчення напружено-деформованого стану пластин, що містять отвори різної форми, залишається фундаментальною та практично значущою проблемою у сучасній механіці твердого тіла. Отвори та вирізи незамінні в реальних інженерних конструкціях для зменшення ваги, складання або обслуговування. Однак вони неминуче порушують однорідне поле напружень, створюючи зони концентрації напружень, які часто служать відправними точками тріщин та втомного руйнування. Розуміння та прогнозування цих ефектів має велике значення для підвищення надійності, довговічності та ефективності сучасних конструкцій в аерокосмічній, машинобудівній, цивільній та енергетичній галузях. Нещодавній прогрес у цій галузі був зумовлений комбінованим застосуванням аналітичних методів та числових методів, зокрема методу скінченних елементів. Дослідники досягли значних результатів у моделюванні впливу форми отвору, орієнтації та граничних умов на загальний розподіл напружень. Особливу увагу приділено анізотропним матеріалам, які все частіше використовуються в композитних та шаруватих конструкціях завдяки їх високому співвідношенню міцності до ваги. Анізотропія пружного середовища зазвичай створює значні додаткові труднощі під час розв'язання крайових задач. У разі прямолінійної анізотропії доводиться мати справу з парою зв'язаних аналітичних функцій, що залежать від різних комплексних змінних. Для середовищ із криволінійною анізотропією пряме застосування класичних методів, заснованих на теорії комплексних функцій, стає неможливим. Ці труднощі можна подолати лише в певних особливих випадках, таких як мала анізотропія або специфічні закони, що регулюють зміну пружних властивостей, тоді як відповідна ізотропна задача зазвичай уважається найпростішим еталоном. У цьому контексті ця робота пропонує точні розв'язки замкнутої форми для двох задач, що стосуються напружено-деформованого стану ортотропної пластини з циліндричною анізотропією. Результати сприяють глибшому розумінню механічної поведінки анізотропних пластин з отворами і можуть служити опорними моделями для перевірки чисельного моделювання та оптимізації інженерних конструкцій.

ENG: The study of the stress–strain state of plates containing holes of various shapes remains a fundamental and practically significant problem in modern solid mechanics. Holes and cutouts are indispensable in real engineering structures for weight reduction, assembly, or maintenance purposes. However, they inevitably disturb the uniform stress field, producing zones of stress concentration that often serve as the starting points of cracks and fatigue failure. Understanding and predicting these effects is essential for improving the reliability, durability, and efficiency of modern structures in aerospace, mechanical, civil, and energy engineering. Recent progress in this field has been driven by the combined application of analytical methods and numerical techniques, particularly the finite element method. Researchers have achieved significant results in modeling the influence of hole shape, orientation, and boundary conditions on the overall stress distribution. A special focus has been placed on anisotropic materials, which are increasingly used in composite and layered structures due to their high strength-to-weight ratio. Anisotropy of the elastic medium usually introduces considerable additional difficulties in solving boundary-value problems. In the case of rectilinear anisotropy, one must deal with a pair of coupled analytic functions depending on different complex variables. For media with curvilinear anisotropy, the direct application of classical methods based on complex function theory becomes impossible. These difficulties can be overcome only in certain special cases, such as small anisotropy or specific laws governing the variation of elastic properties, while the corresponding isotropic problem is generally considered the simplest benchmark. In this context, the present work provides exact closed-form solutions for two problems concerning the stress–strain state of an orthotropic plate with cylindrical anisotropy. The results contribute to a deeper understanding of the mechanical behavior of anisotropic plates with holes and can serve as reference models for verifying numerical simulations and optimizing engineering designs.