Визначення фрактальної розмірності часткових геометричних фракталів

UKR: Мета. Дослідження спрямовано на визначення залежності фрактальної розмірності часткових геометричних фракталів від ступеня спотворення структури фракталу. Такий аналіз є важливим для розуміння поведінки складних об’єктів у випадку часткового порушення властивості самоподібності, що часто трапляється у реальних задачах комп’ютерної графіки, моделювання природних процесів, біомедичних зображень та аналізу матеріалів. Методика. У дослідженні використано методику побудови фракталів на основі L-систем з проміжним мультисимвольним представленням із підсівом дефектів шляхом випадкового видалення певного відсотка символів зі сформованої послідовності. Аналіз здійснювався за допомогою методу box-counting: фрактальна структура багаторазово покривалася квадратною сіткою зі змінною довжиною сторін квадратів, після чого визначалась кількість квадратів, необхідних для покриття фігури. Фрактальна розмірність визначалася через логарифмічну залежність між кількістю квадратів і довжиною сторони квадратів (метод нахилу прямої на логарифмічному графіку). Графічні зображення фракталів зберігалися у форматі BMP з високою роздільною здатністю для мінімізації похибок, спричинених раструванням. Для підвищення достовірності кожна структура аналізувалася шляхом десятиразового повторного покриття сіткою зі змінними параметрами. Результати. Запропонована методика була апробована на відомих геометричних фракталах: сніжинка Коха, квадратний острів Коха, крива Серпінського, крива дракона, крива Леві без спотворень. Для них отримане значення фрактальної розмірності узгоджується з теоретичним. Для цих фракталів була визначена залежність фрактальної розмірності від ступеня пошкодження (відсотка видалених елементів). Зокрема, зі зростанням кількості дефектів, як правило, спостерігається зменшення значення фрактальної розмірності, що свідчить про втрату самоподібності та спрощення геометричної структури. Такі результати дозволяють кількісно описати процес деградації фрактальних структур та встановити критичні межі стійкості самоподібності. Наукова новизна робити полягає у визначенні нових об’єктів дослідження, а саме часткових геометричних фракталів. Отримані нові дані про ступінь самоподібності часткових фракталів з різним ступенем пошкодженості. Практична значимість полягає у можливості використання отриманих результатів у комп'ютерній графіці, обробці зображень, створенні 3D-моделей, а також у матеріалознавстві та інших науках, де важливе врахування складності та структури матеріалів. Результати роботи розширюють сучасні підходи до аналізу фрактальних структур і пропонують нові методи їхнього дослідження та застосування.

ENG: Purpose. Research aims on determining the dependence of the fractal dimension of partial geometric fractals on the degree of distortion of the fractal structure. Such analysis is important for understanding behavior of complex objects in cases of partial violation of self-similarity, which frequently occurs in real-world tasks of computer graphics, modeling of natural processes, biomedical imaging, and materials analysis. Methodology. Research employed fractal construction technique based on L-systems with intermediate multi-symbol representation and defect seeding by randomly removing a certain percentage of symbols from generated sequence. Analysis was performed using box-counting method: fractal structure was repeatedly overlaid with square grids of variable side lengths, after which number of squares required to cover figure was determined. Fractal dimension was calculated from logarithmic relationship between number of squares and side length of squares (slope method on logarithmic plot). Graphical representations of fractals were saved in high-resolution BMP format to minimize rasterization errors. To improve reliability, each structure was analyzed through tenfold repeated grid coverage with varying parameters. Findings. Proposed methodology was tested on well-known geometric fractals: Koch snowflake, Koch square island, Sierpinski curve, dragon curve, and Lévy curve without distortions. Obtained fractal dimension values corresponded to theoretical predictions. For these fractals, relationship between fractal dimension and degree of damage (percentage of removed elements) was determined. In particular, increasing number of defects generally led to decrease in fractal dimension, indicating loss of self-similarity and simplification of geometric structure. These results allow quantitative description of fractal structure degradation and identification of critical limits of self-similarity stability. Originality. Research introduces new objects of study, namely partial geometric fractals, and provides new data on self-similarity levels of partial fractals with varying degrees of damage. Practical value. Results can be applied in computer graphics, image processing, 3D modeling, as well as in materials science and other fields where complexity and structure of materials are important. Study expands current approaches to fractal structure analysis and proposes new methods for their investigation and application.