Odd and Even Functions in the Design Problem of New Chaotic Attractors

ENG: Let A ⊂ Rn be a chaotic attractor generated by a quadratic system of ordinary differential equations x˙ = f(x). A method for constructing new chaotic attractors based on the attractor A is proposed. The idea of the method is to replace the state vector x = (x1,...,xn)T located on the right side of the original system with new vector u(x); where u(x) = K ·(h1(x1),...,hn(xn))T , K ∈ Rn×n, and hi(xi) are odd power functions; i = 1,...,n. (In other words, a state feedback x → u(x) is introduced into the right side of the system under study: x˙ = f(x) → x˙ = f(u(x)).) As a result, the newly obtained system generates new chaotic attractors, which are topologically not equivalent (generally speaking) to the attractor A. In addition, for an antisymmetric neural ODE system with a homoclinic orbit connected at a saddle point, the conditions for the occurrence of chaotic dynamics are found.

UKR: Нехай A ⊂ Rn — хаотичний атрактор, породжений квадратичною системою звичайних диференціальних рівнянь x˙ = f(x). Запропоновано метод побудови нових хаотичних атракторів на основі атрактора A. Ідея методу полягає в заміні вектора стану x = (x1,...,xn)T, розташованого з правого боку вихідної системи, на новий вектор u(x); де u(x) = K ·(h1(x1),...,hn(xn))T , K ∈ Rn×n, hi(xi) — непарні степеневі функції; i = 1,...,n. (іншими словами, зворотний зв’язок за станом x → u(x) вводиться в праву частину досліджуваної системи: x˙ = f(x) → x˙ = f(u(x)).) В результаті новоотримана система генерує нові хаотичні атрактори, які топологічно не еквівалентні (взагалі кажучи) атрактору A. Крім того, для антисиметричної нейронної системи ОДУ з гомоклінічною орбітою, зв’язаною в сідловій точці, умови виникнення хаотичної динаміки знайдені.